歐拉公式的由來

在復(fù)數(shù)世界中，當(dāng)我們集成三角表達(dá)式時(shí)，我們很可能會(huì)遇到所謂的歐拉公式。這個(gè)強(qiáng)大的方程式以傳奇的數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）的名字命名。Euler公式，是Leonhard Euler的兩個(gè)重要數(shù)學(xué)定理之一。在三角函數(shù)中使用的第一個(gè)公式，也稱為歐拉恒等式，表示e?^i?x?= cos?x?+?i?sin?x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，而i是-1的平方根（請(qǐng)參閱 無理數(shù)）。當(dāng)X是等于π或2π，式產(chǎn)生與π，2個(gè)優(yōu)雅表達(dá)式?，和我：?我π= -1和? 2我π = 1，分別。第二個(gè)也稱為Euler多面體公式，是與任何多面體的面，頂點(diǎn)和邊的數(shù)量相關(guān)的拓?fù)洳蛔冃裕ㄕ?qǐng)參見 拓?fù)洌Ｓ洖镕 + V = E + 2，其中F是面的數(shù)量，V是頂點(diǎn)的數(shù)量，E是邊的數(shù)量。例如，一個(gè)立方體有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)和12個(gè)邊，并滿足此公式。

我們將研究Euler公式如何使我們將復(fù)數(shù)表示為指數(shù)，并探索相對(duì)容易地建立復(fù)數(shù)的不同方法。

此外，我們還將考慮它的幾種應(yīng)用，例如歐拉恒等式的特殊情況，復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，關(guān)鍵函數(shù)的替代定義以及de Moivre定理和三角可加恒等式的替代證明。

歐拉公式的解釋：簡介，解釋和示例

那么，歐拉公式到底是什么？簡而言之，該定理表明：

e?^i?x?= cos?x?+?i?sin?x

在哪里：

• X是一個(gè)實(shí)數(shù)。
• ?是自然對(duì)數(shù)的底。
• 一世是虛數(shù)單位（即，的平方根）-1個(gè)）。

歐拉公式建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的基本關(guān)系。在幾何上，可以將其視為在復(fù)平面中橋接相同單位復(fù)數(shù)的兩個(gè)表示的一種方式。

讓我們看一下Euler公式的一些關(guān)鍵值，并看一下它們?nèi)绾螌?duì)應(yīng)于三角/單位圓中的點(diǎn)：

• 為了?X=0， 我們有??0=cos?0+一世罪?0， 這使?1個(gè)=1個(gè)。到目前為止一切順利：我們知道0?在三角圓上是?1個(gè)?在實(shí)軸上，這就是我們得到的結(jié)果。
• 為了?X=1個(gè)， 我們有??一世=cos?1個(gè)+一世罪?1個(gè)。這個(gè)結(jié)果表明?一世精確地是單位圓上的角度為1弧度的點(diǎn)。
• 為了?X=π2個(gè)， 我們有??一世π2個(gè)=cos?π2個(gè)+一世罪?π2個(gè)=一世。該結(jié)果在與物理有關(guān)的某些計(jì)算中很有用。
• 為了?X=π， 我們有??一世π=cos?π+一世罪?π， 意思就是??一世π=-1個(gè)。這個(gè)結(jié)果等同于著名的歐拉身份。
• 為了?X=2個(gè)π， 我們有??一世（2個(gè)π）=cos?2個(gè)π+一世罪?2個(gè)π， 意思就是??一世（2個(gè)π）=1個(gè)，與?X=0。

理解歐拉公式的關(guān)鍵在于如下重寫公式：（?一世）X=罪?X+一世cos?X在哪里：

• 可以將右手表達(dá)式視為帶角度的單位復(fù)數(shù)X。
• 左手表達(dá)式可以認(rèn)為是將1弧度單位復(fù)數(shù)提高為X。

并且由于將單位復(fù)數(shù)提高為冪可以被視為重復(fù)的乘法（即，在這種情況下為相加角），因此歐拉公式可以解釋為圍繞單位圓到達(dá)同一點(diǎn)的兩種不同方式。

派生

歐拉公式至少可以通過三種方式建立。一階推導(dǎo)基于冪級(jí)數(shù)，其中指數(shù)，正弦和余弦函數(shù)作為冪級(jí)數(shù)展開，得出該公式確實(shí)成立。

歐拉公式的第二個(gè)推導(dǎo)基于微積分，其中將方程的兩邊都視為函數(shù)并進(jìn)行相應(yīng)的微分。然后，這導(dǎo)致了對(duì)公共屬性的識(shí)別-可以利用該屬性來表明兩個(gè)功能確實(shí)相等。

歐拉公式的另一個(gè)推導(dǎo)涉及在復(fù)平面中使用極坐標(biāo)，通過該極坐標(biāo)可以得到[R?和?θ隨后被發(fā)現(xiàn)。實(shí)際上，您僅通過查看公式本身就可以猜測(cè)這些值是什么！

派生1：功率系列

歐拉公式最直觀的推導(dǎo)之一就是使用冪級(jí)數(shù)。它在于擴(kuò)展指數(shù)，正弦和余弦的冪級(jí)數(shù)-最終得出等式成立的結(jié)論。

需要說明的是，這種方法假設(shè)冪級(jí)數(shù)展開式為?罪??，?cos??， 和???到處都是絕對(duì)收斂的（例如，它們適用于所有復(fù)數(shù)）?）。但是，它還具有顯示歐拉公式適用于所有復(fù)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)??也一樣

對(duì)于復(fù)雜的變量??的冪級(jí)數(shù)展開的???是??=1個(gè)+?1個(gè)！+?2個(gè)2個(gè)！+?33！+?44！+?現(xiàn)在，讓我們來???成為?一世X?（在哪里?X是任意復(fù)數(shù)）。作為??被提升到越來越大的力量，?一世也被提升到越來越大的力量。該前八對(duì)權(quán)力的一世?看起來像這樣：（根據(jù)定義?）一世0=1個(gè)一世4=一世2個(gè)?一世2個(gè)=1個(gè)一世1個(gè)=一世一世5=一世?一世4=一世一世2個(gè)=-1個(gè)（根據(jù)定義?一世）一世6=一世?一世5=-1個(gè)一世3=一世?一世2個(gè)=-一世一世7=一世?一世6=-一世（注意周期性的權(quán)力一世：?1個(gè)，?一世，?-1個(gè)，?-一世。我們將很快使用這些功能。）

和??=一世X，擴(kuò)展????變成：?一世X=1個(gè)+一世X+（一世X）2個(gè)2個(gè)！+（一世X）33！+（一世X）44！+?提取力量?一世，我們得到：?一世X=1個(gè)+一世X-X2個(gè)2個(gè)！-一世X33！+X44！+一世X55！-X66！-一世X77！+X88！+?并且自從冪級(jí)數(shù)展開以來???是絕對(duì)收斂的，我們可以在不改變其價(jià)值的情況下重新排列其條件。將實(shí)項(xiàng)和虛項(xiàng)組合在一起便得出：?一世X=（1個(gè)-X2個(gè)2個(gè)！+X44！-X66！+X88！-?）+一世（X-X33！+X55！-X77！+?）現(xiàn)在，讓我們繞道而行，看看正弦?和?余弦的冪級(jí)數(shù)。電源系列cos?X?是cos?X=1個(gè)-X2個(gè)2個(gè)！+X44！-X66！+X88！-?而對(duì)于?罪?X， 這是罪?X=X-X33！+X55！-X77！+?換句話說，我們擁有的最后一個(gè)方程正好是?一世X=cos?X+一世罪?X這就是我們一直在尋找的歐拉公式的陳述。

推導(dǎo)2：微積分

建立歐拉公式的另一種巧妙方法是同時(shí)考慮兩者??一世X?和?cos?X+一世罪?X作為功能的X，然后區(qū)分它們以找到關(guān)于它們的一些共同屬性。

為了做到這一點(diǎn)，必須假設(shè)這些功能???，?cos?X?和?罪?X為所有實(shí)數(shù)定義和可區(qū)分X?和復(fù)數(shù)??。通過假設(shè)這些函數(shù)對(duì)于所有復(fù)數(shù)都是可微的，也有可能證明歐拉公式也適用于所有復(fù)數(shù)。

首先，讓?F1個(gè)（X）?和?F2個(gè)（X）?是??一世X?和?cos?X+一世罪?X， 分別。差異化?F1個(gè)然后通過鏈?zhǔn)揭?guī)則得出：F1個(gè)′（X）=一世?一世X=一世F1個(gè)（X）同樣，區(qū)別?F2個(gè)?還產(chǎn)生：F2個(gè)′（X）=-罪?X+一世cos?X=一世F2個(gè)（X）換句話說，兩個(gè)函數(shù)都滿足微分方程?F′（X）=一世F（X）。現(xiàn)在，考慮功能F1個(gè)F2個(gè)，這是對(duì)所有對(duì)象定義明確的X?（自從?F2個(gè)（X）=cos?X+一世罪?X對(duì)應(yīng)于單位圓上的點(diǎn)，永遠(yuǎn)不會(huì)為零）。解決之后，在該函數(shù)上使用商規(guī)則，將得出：（F1個(gè)F2個(gè)）′（X）=F1個(gè)′（X）F2個(gè)（X）-F1個(gè)（X）F2個(gè)′（X）[F2個(gè)（X）]2個(gè)=一世F1個(gè)（X）F2個(gè)（X）-F1個(gè)（X）一世F2個(gè)（X）[F2個(gè)（X）]2個(gè)=0由于這里的導(dǎo)數(shù)是?0，這意味著該功能?F1個(gè)F2個(gè)首先必須是一個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)的值是多少？讓我們通過插入來弄清楚X=0?進(jìn)入功能：（F1個(gè)F2個(gè)）（0）=?一世0cos?0+一世罪?0=1個(gè)換句話說，我們必須所有人都擁有?X：（F1個(gè)F2個(gè)）（X）=?一世Xcos?X+一世罪?X=1個(gè)在移動(dòng)之后?cos?X+一世罪?X?在右邊，成為我們一直在尋找的著名公式。

推導(dǎo)3：極坐標(biāo)

歐拉公式的又一個(gè)巧妙的證明涉及將指數(shù)視為數(shù)字，或更具體地說，將其視為極坐標(biāo)下的復(fù)數(shù)。

確實(shí)，我們已經(jīng)知道，所有非零復(fù)數(shù)都可以以獨(dú)特的方式在極坐標(biāo)中表示。特別是任何形式的表格?一世X?（與真實(shí)?X）（非零）可以表示為：?一世X=[R（cos?θ+一世罪?θ）在哪里?θ是它與正實(shí)軸的主角（例如，0≤θ<2個(gè)π）， 和?[R是它的半徑（[R>0）。我們不對(duì)的值做任何假設(shè)[R?和?θ，但事實(shí)是它們是?X?（可能包含也可能不包含?X作為變量）。它們將在證明過程中確定。

（但是，我們知道的是?X=0，左側(cè)是?1個(gè)，這意味著?[R?和?θ滿足初始條件的[R（0）=1個(gè)?和?θ（0）=0， 分別。）

對(duì)于什么是價(jià)值，我們將通過開始區(qū)分等式的兩邊。通過指數(shù)的定義，相對(duì)于X?產(chǎn)量?一世?一世X。在微分方程式的右邊之后，方程式變?yōu)椋阂皇?一世X=d[RdX（cos?θ+一世罪?θ）+[R（-罪?θ+一世cos?θ）dθdX我們正在尋找一種在以下方面具有獨(dú)特性的表達(dá)方式：?[R?和?θ。擺脫?一世X，我們換回?[R（cos?θ+一世罪?θ）?為了??一世X?要得到：一世[R（cos?θ+一世罪?θ）=（cos?θ+一世罪?θ）d[RdX+[R（-罪?θ+一世cos?θ）dθdX到達(dá)那里后，分發(fā)?一世?然后在左側(cè)產(chǎn)生：[R（一世cos?θ-罪?θ）=（cos?θ+一世罪?θ）d[RdX+[R（-罪?θ+一世cos?θ）dθdX分別將虛部和實(shí)部相等，我們得到：一世[Rcos?θ=一世罪?θd[RdX+一世[Rcos?θdθdX和-[R罪?θ=cos?θd[RdX-[R罪?θdθdX我們?cè)谶@里是一個(gè)系統(tǒng)，兩個(gè)方程和兩個(gè)未知數(shù)，其中d[R/dX?和?dθ/dX是變量。我們可以通過幾個(gè)步驟解決它。首先，通過分配α?至?d[R/dX?和?β?至?dθ/dX，我們得到：（一世）（二）（一世）[Rcos?θ=（罪?θ）α+（[Rcos?θ）β（二）-[R罪?θ=（cos?θ）α-（[R罪?θ）β其次，將（I）乘以?cos?θ?和（II）由?罪?θ，我們得到：（三）（四）（三）[Rcos2個(gè)?θ=（罪?θcos?θ）α+（[Rcos2個(gè)?θ）β（四）-[R罪2個(gè)?θ=（罪?θcos?θ）α-（[R罪2個(gè)?θ）β這些操作的目的是消除?α?通過執(zhí)行（III）–（IV），當(dāng)我們這樣做時(shí)，我們得到：[R（cos2個(gè)?θ+罪2個(gè)?θ）=[R（cos2個(gè)?θ+罪2個(gè)?θ）β自從?cos2個(gè)?θ+罪2個(gè)?θ=1個(gè)，出現(xiàn)了一個(gè)更簡單的方程式：[R=[Rβ由于?[R>0?對(duì)所有人?X，這意味著?β?-我們已經(jīng)設(shè)定為?dθ/dX?—等于?1個(gè)。

到達(dá)該位置后，將結(jié)果代入（I）和（II）并進(jìn)行一些抵消，我們得到：0=（罪?θ）α0=（cos?θ）α這意味著?α?-我們已經(jīng)設(shè)定為?d[RdX?—必須等于?0。

從事實(shí)?d[R/dX=0，我們可以推斷出?[R必須是一個(gè)常數(shù)。同樣，從事實(shí)dθ/dX=1個(gè)，我們可以推斷出?θ=X+C?對(duì)于一些常數(shù)?C。

但是，由于?[R滿足初始條件?[R（0）=1個(gè)，我們必須擁有?[R=1個(gè)。同樣，因?yàn)棣?滿足初始條件?θ（0）=0，我們必須擁有?C=0。那是，θ=X。

和?[R?和?θ?現(xiàn)在已經(jīng)確定，我們可以將它們插入原始方程式并獲得：?一世X=[R（cos?θ+一世罪?θ）=cos?X+一世罪?X正如預(yù)期的那樣，這正是歐拉實(shí)數(shù)公式的陳述?X。

應(yīng)用領(lǐng)域

作為數(shù)學(xué)中最重要的方程式之一，歐拉公式無疑在不同主題中都有其有趣的應(yīng)用領(lǐng)域。其中包括：

• 著名的歐拉身份
• 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式
• 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的替代定義
• 將指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)推廣為復(fù)數(shù)
• de Moivre定理和三角可加恒等式的替代證明

歐拉的身份

歐拉的恒等式通常被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最美麗的方程式。它寫為

?一世π+1個(gè)=0

它展示了數(shù)學(xué)中最重要的五個(gè)常數(shù)。這些都是：

• 該添加劑的身份?0
• 該統(tǒng)一?1個(gè)
• 該丕恒?π?（圓的周長與其直徑之比）
• 的自然對(duì)數(shù)的基地??
• 的虛數(shù)單位?一世

其中，代表三種類型的數(shù)字：整數(shù)，無理數(shù)和虛數(shù)。還表示了三個(gè)基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算：加法，乘法和乘冪。

我們從歐拉公式開始獲得歐拉的身份?一世X=cos?X+一世罪?X并通過設(shè)置?X=π?并發(fā)送后續(xù)?-1個(gè)到左側(cè)?中間形式?一世π=-1個(gè)在復(fù)平面中的三角單位圓的上下文中是常見的：它對(duì)應(yīng)于單位圓上相對(duì)于正實(shí)軸的角度為π。

指數(shù)形式的復(fù)數(shù)

至此，我們已經(jīng)知道復(fù)數(shù)??可以用笛卡爾坐標(biāo)表示為X+一世?， 在哪里?X?和???分別是的實(shí)部和虛部??。

實(shí)際上，相同的復(fù)數(shù)也可以用極坐標(biāo)表示為[R（cos?θ+一世罪?θ）， 在哪里?[R?是它到原點(diǎn)的距離的大小，并且?θ?是它相對(duì)于正實(shí)軸的角度。

但這還不止于此：由于有了歐拉公式，現(xiàn)在每個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示為復(fù)指數(shù)?，如下所示：

?=[R（cos?θ+一世罪?θ）=[R?一世θ

在哪里?[R?和?θ?與以前的數(shù)字相同。

從?（X，?）?至?（[R，θ），我們使用公式[R=X2個(gè)+?2個(gè)θ=阿坦2?（?，X）（在哪里?阿坦2?（?，X）是兩個(gè)參數(shù)的反正切函數(shù)與阿坦2?（?，X）=Arctan?（?X）?每當(dāng)?X>0）

反之，從?（[R，θ）?至?（X，?），我們使用以下公式：X=[Rcos?θ?=[R罪?θ復(fù)數(shù)的指數(shù)形式也使得乘以復(fù)數(shù)容易得多-就像同樣的方式直角坐標(biāo)使另外更容易。例如，給定兩個(gè)復(fù)數(shù)?1個(gè)=[R1個(gè)?一世θ1個(gè)?和??2個(gè)=[R2個(gè)?一世θ2個(gè)，我們現(xiàn)在可以將它們相乘，如下所示：?1個(gè)?2個(gè)=[R1個(gè)?一世θ1個(gè)?[R2個(gè)?一世θ2個(gè)=[R1個(gè)[R2個(gè)?一世（θ1個(gè)+θ2個(gè)）本著同樣的精神，我們還可以將兩個(gè)相同的數(shù)字除以如下：?1個(gè)?2個(gè)=[R1個(gè)?一世θ1個(gè)[R2個(gè)?一世θ2個(gè)=[R1個(gè)[R2個(gè)?一世（θ1個(gè)-θ2個(gè)）

如果我們使用矩形?X+一世?取而代之的是，相同的除法將需要乘以分子和分母中的復(fù)共軛。對(duì)于極坐標(biāo)，情況將是相同的（可能更糟）。

如果有的話，指數(shù)形式肯定可以使我們更容易看到，將兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘與將幅度相乘和相加角實(shí)際上是相同的，將兩個(gè)復(fù)數(shù)相除與將幅度相乘并相減得出的角確實(shí)相同。

關(guān)鍵功能的替代定義

歐拉公式還可用于為關(guān)鍵函數(shù)（例如復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)），三角函數(shù)（例如正弦，余弦和正切）及其雙曲線對(duì)應(yīng)項(xiàng)提供替代定義。它也可以用來建立這些功能之間的關(guān)系。

復(fù)指數(shù)函數(shù)

首先，回想一下歐拉的公式指出?一世X=cos?X+一世罪?X如果假定該公式對(duì)實(shí)數(shù)成立?X僅指數(shù)函數(shù)才定義為虛數(shù)。但是，我們還可以通過簡單的技巧將指數(shù)函數(shù)擴(kuò)展為包括所有復(fù)數(shù)：

??=?X+一世?（=?X?一世?）=dF?X（cos??+一世罪??）

換句話說，復(fù)數(shù)的指數(shù)?X+一世?只是其數(shù)量級(jí)為的復(fù)數(shù)?X誰的角度是?。有趣的是，這意味著復(fù)指數(shù)本質(zhì)上將垂直線映射到圓。這是說明這一點(diǎn)的動(dòng)畫：

三角函數(shù)

除了擴(kuò)展指數(shù)函數(shù)的域外，我們還可以使用歐拉公式為反角導(dǎo)出相似的方程?-X：?-一世X=cos?X-一世罪?X該方程式與Euler公式本身一起構(gòu)成了一個(gè)方程式系統(tǒng)，我們可以從中分離出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。

例如，通過減去??-一世X?來自的等式??一世X?等式，余弦抵消并除以?2個(gè)一世，我們得到正弦函數(shù)的復(fù)雜指數(shù)形式：

罪?X=?一世X-?-一世X2個(gè)一世

同樣，通過將兩個(gè)方程式相加，可消除正弦并除以?2個(gè)，我們得到余弦函數(shù)的復(fù)雜指數(shù)形式：

cos?X=?一世X+?-一世X2個(gè)

可以肯定的是，下面的視頻更詳細(xì)地說明了相同的派生。

另一方面，切線函數(shù)定義為罪?Xcos?X，因此就復(fù)雜的指數(shù)而言，它變?yōu)椋?/p>

棕褐色?X=?一世X-?-一世X一世（?一世X+?-一世X）

如果證明歐拉公式對(duì)所有復(fù)數(shù)都成立（就像我們通過冪級(jí)數(shù)在證明中所做的那樣），那么這三個(gè)公式也同樣適用。它們的存在使我們可以在三角函數(shù)和復(fù)雜指數(shù)之間自由切換，這在計(jì)算導(dǎo)數(shù)和積分時(shí)是一個(gè)很大的優(yōu)勢(shì)。

雙曲函數(shù)

除了三角函數(shù)外，雙曲函數(shù)是可以根據(jù)復(fù)指數(shù)定義的另一類函數(shù)。實(shí)際上，通過這種連接，我們可以識(shí)別與三角函數(shù)相對(duì)應(yīng)的雙曲函數(shù)。

例如，從復(fù)雜的正弦和復(fù)雜的余弦開始，然后插入一世??（并利用以下事實(shí)?一世2個(gè)=-1個(gè)?和?1個(gè)/一世=-一世）， 我們有：罪?一世?=?一世（一世?）-?-一世（一世?）2個(gè)一世=?-?-??2個(gè)一世=一世（??-?-?2個(gè)）=一世辛??cos?一世?=?一世（一世?）+?-一世（一世?）2個(gè)=??+?-?2個(gè)=柯什??從這些，我們也可以插入?一世?進(jìn)入復(fù)雜的切線并得到：棕褐色?（一世?）=罪?一世?cos?一世?=一世辛??柯什??=一世譚??簡而言之，這意味著我們現(xiàn)在可以根據(jù)三角函數(shù)來定義雙曲函數(shù)，如下所示：

辛??=罪?一世?一世柯什??=cos?一世?譚??=棕褐色?一世?一世

但是，這些并不是我們可以提供新定義的唯一功能。實(shí)際上，根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)和一般復(fù)數(shù)指數(shù)是我們可以定義的另外兩類函數(shù)。

復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)和一般復(fù)數(shù)指數(shù)

與實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)相比，復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)表現(xiàn)出特殊的行為。更具體地說，它具有無限數(shù)量的值而不是一個(gè)。

為了了解如何操作，我們首先將對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)。那是：?ln??=?ln?（??）=?此外，我們還知道對(duì)于任何復(fù)數(shù)對(duì)??1個(gè)?和??2個(gè)，指數(shù)的加法性質(zhì)為：??1個(gè)??2個(gè)=??1個(gè)+?2個(gè)因此，當(dāng)將非零復(fù)數(shù)表示為指數(shù)時(shí)，我們具有：?=|?|?一世?=?ln?|?|?一世?=?ln?|?|+一世?在哪里?|?|?是的大小???和???是的角度??從正實(shí)軸開始。而且由于對(duì)數(shù)只是數(shù)字的指數(shù)，當(dāng)對(duì)數(shù)升為?，以下定義是按順序進(jìn)行的：ln??=ln?|?|+一世?首先，這似乎是定義復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)的一種可靠方法。但是，再看一遍，則發(fā)現(xiàn)以這種方式定義的對(duì)數(shù)可以采用無限數(shù)量的值-這是因?yàn)??也可以選擇其他任意形式的形式??+2個(gè)π??（在哪里???是一個(gè)整數(shù)）。

例如，我們從較早的時(shí)候已經(jīng)看到??0=1個(gè)?和??2個(gè)π一世=1個(gè)。這意味著可以定義1個(gè)?兩者都?0?和?2個(gè)π一世?—或任何形式的表格?2個(gè)π?一世?為此（在哪里???是一個(gè)整數(shù)）。

為了解決這個(gè)難題，通常使用兩種單獨(dú)的方法。第一種方法是簡單地將復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)視為一個(gè)多值函數(shù)。即，將每個(gè)輸入映射到一組值的函數(shù)。實(shí)現(xiàn)此目的的一種方法是定義ln???如下：{ln?|?|+一世（?+2個(gè)π?）}在哪里?-π<?≤π?和??是一個(gè)整數(shù)。在這里，該子句-π<?≤π?具有限制角度的作用??僅限一位候選人。因此，?以這種方式定義通常被稱為主角度的?。

第二種方法（可以說更優(yōu)雅）是簡單地定義的復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)。???以便???是...的主角??。有了這樣的理解，原始的定義便變得清晰起來：

ln??=ln?|?|+一世?

例如，根據(jù)這一新規(guī)則，我們將擁有?ln?1個(gè)=0?和?ln?一世=ln?（?一世π2個(gè)）=一世π2個(gè)。我們不再受制于角度周期性的問題！

但是，由于限制?-π<?≤π，復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)的范圍現(xiàn)在減小到矩形區(qū)域?-π<?≤π（即主體分支）。而且，如果我們想保留對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的逆關(guān)系，我們還需要對(duì)指數(shù)函數(shù)的域進(jìn)行同樣的處理。

但是，由于復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)現(xiàn)已定義明確，因此我們也可以基于它定義許多其他內(nèi)容，而不會(huì)產(chǎn)生歧義。這樣的例子就是通用復(fù)數(shù)指數(shù)（基數(shù)為非零）一種），其定義如下：

一種?=?ln?（一種?）=dF??ln?一種

例如，使用上面定義的一般復(fù)指數(shù)，我們現(xiàn)在可以了解?一世一世?實(shí)際上意味著：一世一世=?一世ln?一世=?一世π2個(gè)一世=?-π2個(gè)≈0.208

De Moivre定理和三角可加恒等式的交替證明

該定理稱為de Moivre定理，該定理指出：

（cos?X+一世罪?X）?=cos??X+一世罪??X

在哪里?X?是一個(gè)實(shí)數(shù)，??是一個(gè)整數(shù)。默認(rèn)情況下，通過歸納可以證明這是正確的（通過使用某些三角恒等式），但是借助歐拉公式，現(xiàn)在存在一個(gè)更簡單的證明。

首先，請(qǐng)記住，指數(shù)的乘性表示（??）?=???雖然此屬性通常不適用于復(fù)數(shù)，但在以下情況下確實(shí)適用：??是一個(gè)整數(shù)。確實(shí)，不難發(fā)現(xiàn)在這種情況下，數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以歸結(jié)為對(duì)指數(shù)的加性的重復(fù)應(yīng)用。

解決了這些問題之后，我們可以輕松得出de Moivre定理，如下所示：（cos?X+一世罪?X）?=（?一世X）?=?一世?X=cos??X+一世罪??X在實(shí)踐中，這個(gè)定理是常用的尋找根復(fù)數(shù)的，并獲得封閉形式表達(dá)的罪??X?和?cos??X。通過將升為高階的函數(shù)簡化為簡單的三角函數(shù)，可以做到這一點(diǎn)-從而可以輕松進(jìn)行計(jì)算。

實(shí)際上，de Moivre定理不是唯一可以通過Euler公式簡化證明的定理。其他身份，如添加劑的身份為罪?（X+?）?和?cos?（X+?），也可以從該效果中受益。

確實(shí)，我們已經(jīng)知道?X?和??：cos?（X+?）+一世罪?（X+?）=?一世（X+?）=?一世X??一世?=（cos?X+一世罪?X）（cos??+一世罪??）=（cos?Xcos??-罪?X罪??）+一世（罪?Xcos??+cos?X罪??）到達(dá)那里后，將兩邊的實(shí)部和虛部相等，然后得出我們一直在尋找的著名身份：

cos?（X+?）=cos?Xcos??-罪?X罪??罪?（X+?）=罪?Xcos??+cos?X罪??

結(jié)論

從上面可以看出，歐拉公式是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中不可多得的瑰寶。它建立了指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，并為復(fù)數(shù)，復(fù)函數(shù)和相關(guān)理論的世界發(fā)展鋪平了道路。

的確，無論是歐拉的身份還是復(fù)數(shù)，歐拉的公式似乎始終如一?罪，?一世?和??參與其中。這是一個(gè)功能強(qiáng)大的工具，精通它會(huì)帶來巨大的回報(bào)，因此，它是“數(shù)學(xué)中最杰出的公式”的正確候選者。